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Mathematische Begriffe Teil I: Vermöge, oder, wohldefiniert

Mathematische Begriffe Teil I: Vermöge, oder, wohldefiniert
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Mathematiker benutzen nicht nur ihre eigenen Symbole und Buchstaben. Sie verwenden auch eigene mathematische Begriffe.

Diese Vokabeln sehen deutsch aus. Doch ihre Bedeutung weicht entweder von dem umgangssprachlichen Verständnis ab oder sie sind in unserem deutschen Alltagswortschatz nicht enthalten.

Dieser Beitrag ist der erste einer vierteiligen Serie. Wir betrachten

Dazu erhälst du eine Übersetzung oder Erklärung. Beispiele runden den ersten Teil unseres kleinen Sprachkurses schließlich ab.

Und, oder

Die Wörter „und“ und „oder“ werden typischerweise im Zusammenhang mit Eigenschaften von Objekten oder im Zusammenhang mit Aussagen eingesetzt. Damit kommen sie vor allem in der Mengenlehre oder Logik vor.

Ein „und“ in der Mathematik bedeutet, dass zwei Eigenschaften für ein Objekt oder zwei Aussagen gleichzeitig erfüllt sein müssen. Ein „oder“ bedeutet, dass mindestens eine der beiden Eigenschaften oder Aussagen erfüllt sein muss. Es dürfen somit auch beide Eigenschaften oder Aussagen zutreffen. Dagegen wird umgangssprachlich das Wort „oder“ eher im Sinne von „entweder oder“ eingesetzt.

Konkret sieht das an einem mengentheoretischen Beispiel so aus:

Betrachten wir die Menge M:=\lbrace x|\ x\ge 0\ \text{und}\ x\in\mathbb{Z}\rbrace. Dann ist beispielsweise die Zahl -3 zwar eine ganze Zahl, also -3\in\mathbb{Z}. Aber -3 < 0. Daher gilt -3\notin M, denn es sind nicht beide Eigenschaften gleichzeitig erfüllt.

Definieren wir nun die Menge N:=\lbrace x|\ x\ge 0\ \text{oder}\ x\in\mathbb{Z}\rbrace. Dann ist wegen -3\in\mathbb{Z} schließlich -3\in N. Hier genügt es, wenn eine Eigenschaft zutrifft.

Handelt es sich um Aussagen, dann veranschaulicht dieses Beispiel die Verwendung der Wörter „und“ und „oder“:
Schauen wir uns zuerst die Aussage „Mein Bruder studiert Mathematik und Informatik.“ an. Diese Aussage ist wahr, wenn der Bruder beide Studiengänge gleichzeitig studiert. Die Aussage ist falsch, wenn er nur Mathemamtik, nur Informatik oder keines von beiden studiert.

Lautet die zu untersuchende Aussage dagegen „Mein Bruder studiert Mathematik oder Informatik.“ Dann ist die Aussage schon wahr, wenn der Bruder eines der Fächer studiert. Die Aussage stimmt immernoch, wenn er in beiden Studiengängen studiert. Falsch ist die Aussage dagegen, wenn der Bruder wie oben keines von beiden studiert.

Soll in der Mathematik ein „ausschließendes oder“ (im Sinne von „entweder oder“) verwendet werden, dann muss das explizit kenntlich gemacht werden.

Wohldefiniert

Falls du schon versucht hast, die Bedeutung von „wohldefiniert“ vom Wort abzuleiten, dann bist du viellleicht auf so etwas wie „besonders gut definiert“ gekommen. Vielleicht könnte man das auch in einem gewissen Sinne so gelten lassen. Allerdings bringt es uns nicht weiter.

Wohldefiniertheit zu erklären ist etwas schwieriger, da sie vom Kontext abhängt. Schauen wir uns direkt mal ein paar Beispiele an:

Die Dimension eines endlich erzeugten Vektorraumes ist wohldefiniert.

Die Dimension eines endlich erzeugten Vektorraumes wird bestimmt indem man die Basisvektoren zählt. Wie wir wissen, ist die Basis eines Vektorraumes nicht eindeutig bestimmt. Wir haben daher viele verschiedene Basen für ein und den selben Vektorraum zur Verfügung.

Wollen wir die Dimension eines Vektorraumes ermitteln, wäre es somit wünschenswert, wenn wir unabhängig von der ausgewählten Basis, stets das selbe Ergebnis erhalten würden. Die Dimension eines Vektorraumes sollte daher unabhängig von der Wahl der Basis sein. Wenn das so ist, ist die Größe „Dimension“ wohldefiniert.

Der algebraische Grad n\in\mathbb{N}von x\in \mathbb{R}, x algebraisch, ist wohldefiniert.

Um hier zu verstehen, wann der algebraische Grad nicht wohldefiniert wäre, müssen wir uns seine Definition noch anschauen:

n:=\min\lbrace \text{grad}(p)|\ \text{Polynom p mit ganzzahligen Koeffizienten hat Nullstelle in x}\rbrace mit \text{grad}(p)\in\mathbb{N}.

Wir haben es hier mit der Bestimmung eines Minimums zu tun. Was kann dabei denn grundsätzlich schiefgehen?

Richtig! Es muss gar kein kleinstes Element, das Minimum, existieren. Wäre das so für das ein oder andere algebraische x\in\mathbb{R}, dann könnte für diese Elemente der algebraische Grad nicht gemessen werden. So eine Definition wäre dann nicht wohldefiniert.

Wohldefiniertheit liegt für den algebraischen Grad daher vor, wenn er für jedes algebraische x\in\mathbb{R} auch existiert. Da wir das Minimum stets aus einer nichtleeren Teilmenge der natürlichen Zahlen auswählen und jede nichtleere Teilmenge der natürlichen Zahlen ein kleinstes Element hat, ist der algebraische Grad wohldefiniert.

Das letzte Beispiel kommt aus direkt aus dem Leben.

Stellen wir uns vor, wir möchten beurteilen, ob die Notenermittlung für die anstehende Matheklausur wohldefiniert ist. Worauf käme es uns dabei an?

Die Berechnung der Note sollte unabhängig davon sein, welcher Schüler einer Klasse die Matheklausur geschrieben hat. Es soll ja schließlich keine Sympathiezuschläge geben! Für jeden Schüler einer Klasse sollten die selben Kriterien angewendet werden. Andernfalls wäre die Notenermittlung ungerecht, d.h. aus Mathematikersicht nicht wohldefiniert.

Typische Fälle, in denen Wohldefiniertheit geprüft werden muss, liegen vor, wenn wir

  • Eigenschaften einer Menge oder
  • Operationen auf Mengen

betrachten. Eine Eigenschaft oder Operation ist wohldefiniert, wenn sie unabhängig von der Auswahl eines Elementes der Menge ist. Das ausgewählte Element wird in diesem Zusammenhang auch Repräsentant der Menge genannt.

Wohldefiniertheit hat demnach ein bisschen was von Gleichbehandlung!

Vermöge

Vermöge klingt ein wenig als käme es aus dem letzten Jahrhundert. Hin und wieder findest du dieses Wort in Sätzen wie

Jeder Ring R mit Einselement ist vermöge der Zuordnung R \to End(R, +), a \mapsto (L_a : x \mapsto ax) isomorph zu einem Unterring des Endomorphismenrings seiner additiven Gruppe (R, +).1)Janatzen, J.C., Schwermer, J. (2006): Algebra, Berlin.

Die multiplikative Gruppe (\mathbb{R}^×, \cdot ) operiere auf \mathbb{R}^2 vermöge (t, (x, y)) \mapsto (tx, y/t).2)Wüstholz, G. (2013): Algebra, 2., aktualisierte Auflage, Wiesbaden.

Dasselbe gilt auch, wenn wir die Homomorphismen von endlich-dimensionalen Vektorraumen vermöge Basen in diesen Räumen durch Matrizen beschreiben: …3)Jänich, K. (2008): Lineare Algebra, fünfte Auflage, Berlin.

Tausche „vermöge“ einfach gegen „mittels“ aus und die Sätze klingen rund.

Ausblick

In Teil 2 wird es um die mathematischen Vokabeln O.B.d.A., wir und kommutatives Diagramm gehen.

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Noch Übersetzungsbedarf?

Fallen dir noch weitere mathematische Vokablen ein, deren Bedeutung dir nicht ganz klar ist? Dann erzähle mir in den Kommentaren davon.

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