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Die wichtigsten mathematischen Symbole für dein erstes Studiensemester

Die wichtigsten mathematischen Symbole für dein erstes Studiensemester
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Mathematik ist eine Sprache, die du wie jede Sprache erst einmal erlernen musst bevor du in ihr kommunizieren kannst. Die Mathematik hat ihre eigenen Vokabeln, Buchstaben und vor allem eigene mathematische Symbole.

Gerade mathematische Symbole gibt es unzählige.

Welche mathematischen Symbole insbesondere im ersten Semester deines Mathematikstudiums wichtig für dich sind, fasst dieser Beitrag zusammen.

 

Mathematische Symbole – Grundlagen

 

Symbol Bezeichnung Sprechweise Verwendung
{\color{gray}A}\neg Negation nicht \neg A
{\color{white}A}\wedge Konjunktion und A \wedge B
{\color{gray}A}\vee Disjunktion oder A \vee B
{\color{white}A}\exists Existenzquantor Es gibt (mindestens) ein \exists\ n \in \mathbb N
{\color{gray}A}\exists ! Existenzquantor Es gibt genau ein \exists !\ n \in \mathbb N
{\color{white}A}\nexists Existenzquantor Es gibt kein \nexists\ n \in \mathbb N
{\color{gray}A}\forall Allquantor Für alle \forall\ \varepsilon\ \textgreater\ 0
{\color{white}A}\Rightarrow Implikation Aus … folgt … A \Rightarrow B
{\color{gray}A}\Leftrightarrow Äquivalenz äquivalent zu
… genau dann, wenn …
A \Leftrightarrow B
{\color{white}A}\text{:}\Leftrightarrow Definitionsäquivalenz ist definitionsgemäß äquivalent E:\Leftrightarrow\ B
{\color{gray}A}\text{:=} Definitionsgleichheit ist definiert als M:=\lbrace 2, 4, 6, 8, 10, \ldots\rbrace
{\color{white}A}\text{:} so dass \forall\ x \in M\ \exists\ q \in \mathbb{N}\ :   x = 2q.
{\color{gray}A}\equiv … identisch …
oder
… kongruent …
\sin^2 (x) + \cos^2(x) \equiv 1
12 \equiv 27\ \text{mod}\ 5

Die mathematischen Symbole \neg,\ \wedge,\ \vee kommen aus der Logik. Dort werden sie am meisten verwendet. Zu Beginn deines Mathematikstudiums spielt die Logik eine wichtige Rolle, da du sie während des gesamten Studiums – wenn auch eher indirekt – bei der Beweisführung brauchen wirst.

Die Negation, Konjunktion und Disjunktion brauchst du schon für dein erstes Übungsblatt. Die Symbole setzt du direkt in deinen ersten Beweisen zu Aussagen der Mengenlehre ein.

Hervorzuheben ist hier, dass \vee das „logische oder“ beschreibt. Das „logische oder“ bedeutet nicht „entweder … oder ….“ sondern schließt das „und“ mit ein.

Sind beispielsweise A, B Aussagen, die wahr oder falsch sein können, dann bedeutet A \vee B: A ist wahr oder B ist wahr. Eine der Aussagen kann somit falsch sein. Die Betonung liegt hier auf kann. Der Ausdruck A \vee B schließt nicht aus, dass A und B wahr sind.

Die Quantoren \exists,\ \exists !, \nexists,\ \forall dagegen werden dich während deines gesamten Studiums begleiten. Ich behaupte sogar:

Es wird kein Studientag ohne Quantoren vergehen!

Im Umgang mit Quantoren ist insbesondere die Negation von Quantoren ist wichtig, um Widerspruchsbeweise führen zu können.

Implikationspfeile und Äquivalenzpfeile wirst Du genauso wie das Definitionszeichen := und den Doppelpunkt : (der auch als „gilt“ gelesen werden kann) sicher täglich benutzen.

Beim Definitionszeichen steht der Doppelpunkt in := stets auf der Seite, auf der das zu definierende Objekt steht.

Etwas seltener wirst du das Zeichen :\Leftrightarrow für Definitionsäquivalenz sehen. Ein Beispiel für seine Verwendung ist folgendes:
X ist auf \Omega \mu-fast überall endlich:\Leftrightarrow\quad \mu(\lbrace X=+\infty\rbrace\bigcup\lbrace X=-\infty\rbrace)=0.

Das Zeichen \equiv steht für die Identität oder Kongruenz von zwei Ausdrücken. Es wird beispielsweise im Zusammenhang mit Gleichungen benutzt, die für alle möglichen Parameterwerte erfüllt sind.

Ein Beispiel ist: \sin^2 (x) + \cos^2(x) \equiv 1. Allerdings wird das Identitätszeichen für diese Gleichung nicht so häufig angewendet. Meistens wird dann das normale Gleichheitszeichen verwendet.

Wenn mit \equiv eine Kongruenz beschrieben wird, dann sieht das beispielsweise so aus: 12 \equiv 27\ \text{mod}\ 5. Du sprichst: 12 ist kongruent zu 27 modulo 5. Beide Zahlen ergeben den Rest 2, wenn du sie durch 5 teilst. Daher sind sie kongruent zueinander.

Konkrete Zahlen spielen während deines Mathematikstudiums höchstens in Form deiner Noten eine Rolle.

Statt einzelner Zahlen sind  mathematische Symbole für ganze Mengen von Zahlen wichtig für dich. Du solltest mit den Symbolen \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C} und den Mengen, die sie definieren, vertraut sein.

 

Mathematische Symbole – Zahlenmengen

 

Symbol Bezeichnung Beschreibung
{\color{white}A}\mathbb{N}, \mathbb{N}_0 Menge der natürlichen
Zahlen (ohne oder mit Null)
\mathbb{N}=\lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 6, \ldots \rbrace\mathbb{N}_0=\mathbb{N}\cup \lbrace 0 \rbrace
{\color{gray}A}\mathbb{Z} Menge der ganzen
Zahlen
\mathbb{Z} = \lbrace \ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots \rbrace
{\color{white}A}\mathbb{Q} Menge der rationalen
Zahlen
\mathbb{Q} = \lbrace \frac{n}{m}| n, m \in \mathbb{Z} \wedge m\neq 0\rbrace
{\color{gray}A}\mathbb{R} Menge der reellen
Zahlen
\mathbb{Q}\ \cup {irrationale Zahlen, z.B. \pi, \sqrt{2}, e}
{\color{white}A}\mathbb{C} Menge der komplexen
Zahlen
\mathbb{C} = \lbrace a + b i | a, b \in \mathbb{R}\rbrace, wobei i:= \sqrt{-1}
{\color{gray}A}M_+ Menge der positiven
Zahlen aus M
M_+ = \lbrace x\in M | x \ge 0 \rbrace
{\color{white}A}M_- Menge der negativen
Zahlen aus M
M_- = \lbrace x\in M | x < 0 \rbrace

Typischerweise wirst du in den ersten beiden Semestern deines Mathestudiums die Eigenschaften der obigen Zahlenmengen studieren. Dazu wirst du Grundlagen der Gruppen-, Ring- und Körpertheorie kennenlernen.

Diese Grundlagen stammen aus der abstrakten Algebra. Mit ihrer Hilfe ordnest du den Zahlenmengen algebraische Strukturen zu, also bestimmte algebraische Eigenschaften.1)Zahlenmengen können neben den algebraischen Strukturen auch Ordnungsstrukturen und topologische Strukturen besitzen, die alle miteinander verbunden sind.

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Deine ersten beiden Vorlesungen im ersten Semester werden Analysis I und Lineare Algebra I sein. In beiden Veranstaltungen ist es üblich, dass die ersten Übungsaufgaben zur Mengenlehre gestellt werden, bevor du dich mit den Zahlenmengen als spezielle Mengen beschäftigst.

Die nachfolgenden mathematischen Symbole wirst du für die Mengenlehre benötigen.

 

Mathematische Symbole – Mengen

 

Symbol Bezeichnung Sprechweise Verwendung
{\color{white}A}\in … Element in …

alternativ … aus …

 x\in X
{\color{gray}A}\notin … nicht Element in …

alternativ … nicht aus …

 x\in X, \text{aber}\ x\notin Y
{\color{white}A}\lbrace  \ldots\rbrace,{\color{white}A}\lbrace \ldots | \ldots \rbrace,{\color{white}A}\lbrace \ldots : \ldots \rbrace Mengenklammern Die zweite und dritte Schreibweise liest sich: Menge aller …, für die gilt …  \lbrace 13, 2, 7, 5, 17, 3\rbrace,\lbrace n\in \mathbb{N}\ |\ \text{n ist gerade}\rbrace,\lbrace n\in \mathbb{N}\ :\ \text{n ist gerade}\rbrace
{\color{gray}A}\lbrace \rbrace,
{\color{gray}A} \emptyset
Leere Menge  … ist leer  M= \emptyset, M=\lbrace \rbrace
{\color{white}A}\subset, \subseteq, \subsetneq  Inklusion … Teilmenge von …  A\subset B
{\color{gray}A}\cap Durchschnitt … geschnitten …  A \cap B
{\color{white}A}\cup Vereinigung … vereinigt …  A \cup B
{\color{gray}A}\dot{\cup} Disjunkte Vereinigung … disjunkt vereinigt …  A \dot{\cup} B
{\color{white}A}\backslash Differenz … ohne …  A \backslash B

Mengen werden in einfachen Fällen dadurch definiert, dass ihre Elemente als ungeordnete Liste in geschweifte Klammern gesetzt werden. Hier ein Beispiel einer einfachen Menge: M:=\lbrace 13, 2, 7, 5, 17, 3\rbrace.

Alternativ kannst du eine Menge auch in dieser Form definieren: N:=\lbrace n\in \mathbb{N}\ |\ \text{n ist gerade}\rbrace. Die Definition der Menge N sprichst du so: N ist die Menge aller natürlichen Zahlen n, für die gilt, dass n eine gerade Zahl ist.

Mit Mengen kannst du auch „rechnen“. Typische Mengenoperationen sind der Durchschnitt, die Vereinigung und die Differenz. Hierbei ist die disjunkte Vereinigung ein Spezialfall der Vereinigung im Allgemeinen. Zwei Mengen A, B sind disjunkt, wenn A \cap B = \emptyset, also wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben.

Das Zeichen \emptyset für die leere Menge wirst du in deinem Mathematikstudium häufiger benutzen als \lbrace \rbrace.

Beide Symbole \wedge und \vee aus der Grundlagen-Tabelle werden nicht nur für Aussagen sondern auch für Elemente einer Menge wie a\in A und b\in B verwendet. Ein Beispiel ist: A \cap B:=\lbrace x :\  x\in A \wedge x\in B\rbrace. Dieser Ausdruck ließt sich: A geschnitten B ist die Menge aller x, für die gilt, x ist Element in A und x ist Element in B.

Ob du in den geschweiften Klammern lieber : oder | benutzt ist Geschmacksache. Beide mathematischen Symbole haben die selbe Bedeutung, nämlich „so dass“ oder auch „gilt“. Typischerweise werden Großbuchstaben für Mengen gewählt und Kleinbuchstaben für die Elemente einer Menge.

Ist eine Menge A in einer anderen Menge B enthalten, dann benutzt du das Inklusionszeichen. Hier gibt es drei Varianten. Leider werden sie nicht einheitlich verwendet.

Im Allgemeinen gilt für eine Teilmenge A von B, dass A \subseteq B. Das bedeutet, dass auch A = B möglich ist. Handelt es sich bei A jedoch um eine echte Teilmenge, dann schreibst du A \subset B oder A \subsetneq B. Es gibt nun auch Mathematiker, die A \subset B schreiben, wenn A = B erlaubt ist.

Neben den speziellen Eigenschaften, die Mengen so haben können, interessiert den Mathematiker auch immer welche Abbildungen  die Eigenschaften der Mengen (auch mathematische Strukturen genannt) erhalten.

Daher spielen Abbildungen von Beginn deines Mathematikstudiums an eine sehr wichtige Rolle.

 

Mathematische Symbole – Abbildungen

 

Symbol Bezeichnung Sprechweise Verwendung
{\color{white}A}\mapsto Zuordnungspfeil … wird abgebildet auf … x\ \mapsto\ f(x)
{\color{gray}A}\to … von … nach … f:\ D \to W
 {\color{white}A}\circ Komposition, Verknüpfung
oder Verkettung
… Kringel  …
… verknüpft mit …
 f\circ g: D \to W
 {\color{gray}A}f^{-1} Umkehrabbildung oder inverse Abbildung von f Die inverse Abbildung von …Alternativ:… hoch minus 1  f^{-1}:\ W \to D
 {\color{white}A}f^{-1} Urbild von f  Das Urbild der Menge  … unter der Funktion… f^{-1}(W)=\lbrace x \in D| f(x) \in W\rbrace

Eine Abbildung g: X \to Y,\ x \mapsto g(x) verändert ein Element x\in X, so dass es nach der Veränderung ein Element y:=g(x) \in Y ist. Was genau mit x\in X geschieht, wird in der Abbildungsvorschrift g(x) beschrieben, beispielsweise so: g(x) := x +1.

Die obige Beschreibung der Abbildung g liest sich so:  g von X nach Y mit x abgebildet auf g(x) definiert als x + 1.

Je weiter du fortschreitest in deinem Studium, desto weniger spielt die konkrete Abbildungsvorschrift (so wie x + 1) eine Rolle. Die Eigenschaften einer Abbildung sind meistens schon völlig ausreichend, um eine mathematische Aussage zu beweisen.

Die Menge links von dem Pfeil \to wird allgemein als Definitionsbereich der Abbildung bezeichnet, die Menge rechts von \to als Zielbereich der Abbildung. Hieraus ergeben sich auch wieder interessante mengentheoretische Aufgaben für dich, wenn Du Mathematik studierst.

Der Kringel \circ ist das mathematische Symbol für die Hintereinanderausführung von zwei Abbildungen. Dabei gilt (f\circ g) (x) = f(g(x)). Die Abbildung rechts vom Kringel, hier g, wird somit zuerst ausgeführt. Ihr Wert ist Argument der linken Abbildung, hier f. Selten wird die Ausführungsreihenfolge von Autoren vertauscht.

Das Symbol für die inverse Abbildung ist das selbe wie für das Urbild. Hier ist jedoch Vorsicht geboten. Beide mathematischen Symbole beschreiben sehr unterschiedliche Dinge.

Das Urbild beschreibt immer eine Menge von Elementen des Definitionsbereichs, die alle auf einen einzelnen Wert im Zielbereich der Abbildung oder auch in eine Teilmenge des Zielbereiches abbilden. Eine einelementige Menge und die leere Menge sind hier nicht ausgeschlossen. Für f^{-1}(W)=\lbrace x \in D| f(x) \in W\rbrace sprichst du: Das Urbild der Menge W unter der Funktion f.

Die inverse Abbildung f^{-1} bildet von einem Element der Zielwerte, y\in W, einer Funktion f auf ein Element der Definitionswerte, x\in D ab. Das heißt, die inverse Abbildung f^{-1} kehrt die Abbildungsvorschrift von f einfach um.

Fazit

Du hast mathematische Symbole zu den Grundlagen, Zahlenmengen, Mengen im Allgemeinen und Abbildungen kennengelernt.

Das sind natürlich bei weitem nicht alle Symbole, die du während deines Studiums brauchen wirst.

Es sind aber die wichtigsten mathematischen Symbole während des ersten Semesters.

Falls du dich umfassender auf dein Mathematikstudium vorbereiten möchtest, erfährst du in dem Artikel Mathematik Studium Vorbereitung: Kenne deine Möglichkeiten welche Themen dabei wichtig für dich sind.

 

 

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