Mathematische Begriffe Teil IV: Kanonisch, i.A., pathologisch

Mathematiker benutzen nicht nur ihre eigenen Symbole und Buchstaben. Sie verwenden auch eigene mathematische Begriffe und Vokabeln.

Diese Vokabeln sehen deutsch aus. Doch ihre Bedeutung weicht entweder von dem umgangssprachlichen Verständnis ab oder sie sind in unserem deutschen Alltagswortschatz nicht enthalten.

Dieser Beitrag ist der letzte einer vierteiligen Serie. Wir betrachten

Kanonisch
I.A.
pathologisch

Dazu erhälst du eine Übersetzung oder Erklärung. Beispiele runden den vierten Teil unseres kleinen Sprachkurses schließlich ab.

Kanonisch

Das Wort kanonisch taucht je nach Autor verschieden häufig in Mathematikbüchern auf. Am häufigsten wird es im Zusammenhang mit Basen eines Vektorraumes gebraucht. Das klingt dann beispielsweise so:

$\lbrace (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\rbrace$ ist die kanonische Basis des $\mathbb{R}^3$ .

Ein anderes Beispiel wäre:

Auf jedem normierten Raum wird mittels $d(x, y)= ||x - y||$ eine kanonisch abgeleitete Metrik eingeführt.¹⁾Vgl. Deiser, O. et al. (2011): 12 x 12 Schlüsselkonzepte zur Mathematik, Heidelberg.

So wäre die Verwendung des Wortes kanonisch auch noch denkbar:

Die Bedingung $\forall \epsilon > 0\ \exists\ N \in \mathbb{N}\ \forall n \ge N\ |a_n - a|\le \epsilon$ sieht für mathematische Anfänger wie eine willkürliche Aneinanderreihung von Quantoren aus. Tatsächlich ist es die kanonische Übersetzung der ungenauen Idee „ $(a_n)$ strebt gegen $a$ „.²⁾Vgl. Deiser, O. et al. (2011): 12 x 12 Schlüsselkonzepte zur Mathematik, Heidelberg.

Eine direkte Übersetzung für „kanonisch“ gibt es in der Mathematik nicht. Je nach Kontext kannst du kanonisch durch „leicht zu finden“, „naheliegend“, „natürlich“ oder „in der Natur der Sache liegend“ ersetzen.

I.A.

Die Abkürzung i.A. bedeutet „im Allgemeinen“. Mathematiker verwenden den Ausdruck wie folgt:

Die Umkehrung der Implikation $A$ ist im Allgemeinen nicht gültig.

Etwas anschaulicher:

Im Allgemeinen dürfen All- und Existenzquantoren nicht vertauscht werden.

Ein sehr anschauliches Beispiel:

Jedes Quadrat ist ein Rechteck. Jedoch ist im Allgemeinen nicht jedes Rechteck ein Quadrat.

Der Ausdruck „im Allgemeinen“ oder „i.A.“ wird in der Regel im Zusammenhang mit einer Verneinung angewendet. Manchmal folgt danach noch ein Spezialfall, für den die Aussage gültig ist:

Ein Rechteck ist genau dann ein Quadrat, wenn alle vier Seiten die gleiche Länge haben.

Du kannst für „im Allgemeinen nicht“ gedanklich auch „nicht immer“ einsetzen.

Pathologisch

Bei dem Begriff „pathologisch“ denkt man sofort an Pathologie. Mit der Assoziation befindet man sich jedoch in der Medizin. Wie passt dann pathologisch in die Mathematik? Wir schauen uns zunächst erst einmal wieder Beispiele an.

Sei $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\quad \text{mit}\ f:=\left\lbrace \begin{array}[pos]{cl} \sin \frac{1}{x}& ,x\ne 0\\ 0 & ,x=0\end{array}\right.$ . Der Graph von $f$ hat in der Nähe von 0 ein pathologisches Verhalten: Er schwingt in jeder Nullumgebung unendlich oft zwischen −1 und 1 hin und her.³⁾Appell, J. (2009): Analysis in Beispielen und Gegenbeispielen, Eine Einführung in die Theorie reeller Funktionen, Berlin.

Beispiel 5.53 zeigt eindrucksvoll, warum es ziemlich sinnlos wäre, auf der reellen Achse eine so pathologische Metrik wie die diskrete Metrik einzuführen: Man bekäme dann entweder „zu viele“ oder „zu wenige“ stetige Funktionen. Erst wenn man eine „vernünftige“ Metrik wie (5.55) betrachtet, bekommt man auch einen „vernünftigen“ Stetigkeitsbegriff, mit dem man sinnvoll Analysis betreiben kann.⁴⁾Appell, J. (2009): Analysis in Beispielen und Gegenbeispielen, Eine Einführung in die Theorie reeller Funktionen, Berlin.

Offensichtlich kann ein mathematisches Objekt unter gewissen Bedingungen ein pathologisches Verhalten haben oder selbst pathologisch sein. Der Begriff „pathologisch“ lässt sich je nach Kontext mit „krankhaft“, „nicht normal“, „wider der Intuition“, oder „unerwartet“ übersetzen.

Für das erste Beispiel wäre „unerwartet“ passend, während im zweiten Beispiel „nicht normal“ besser passt.

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