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Wie einfach du aus dem Nichts eine ganze Welt erschaffen kannst

Wie einfach du aus dem Nichts eine ganze Welt erschaffen kannst
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1, 2, 3, 4, … . Du kennst sie – das sind natürliche Zahlen! Die natürlichen Zahlen wurden aus dem mathematischen Nichts, der leeren Menge, geschaffen. Die leere Menge ist die Menge ohne Elemente. Es gibt zwei mathematische Symbole für die leere Menge, \emptyset und \lbrace \rbrace.

Natürliche Zahlen zum Selberbauen

John von Neumann beschrieb die natürlichen Zahlen mit Hilfe eines mengentheoretischen Modells, bei dem er die leere Menge nutzt. Dabei definiert er wie folgt:

    \begin{align*} & 0:=\emptyset\\ & 1:=\lbrace \emptyset \rbrace\\ & 2:=\lbrace \emptyset, \lbrace \emptyset \rbrace\rbrace\\ & 3:=\lbrace \emptyset, \lbrace \emptyset \rbrace, \lbrace \emptyset, \lbrace \emptyset \rbrace\rbrace \rbrace\\ & \vdots\\ & (n+1):= n \cup \lbrace n \rbrace \end{align*}

Da \emptyset für die Menge ohne Elemente steht, wird \emptyset als 0 definiert. John von Neumann sieht somit die Zahl 0 als eine natürliche Zahl an.1)Hier spaltet sich die Menge der Mathematiker jedoch in zwei Teilmengen. Es gibt diejenigen, die die Zahl 0 als natürliche Zahl betrachten und diejenigen, für die die 0 nicht zu den natürlichen Zahlen gehört. Da es also nicht eindeutig ist, was unter dem mathematischen Symbol \mathbb{N} zu verstehen ist, wird auch manchmal \mathbb{N}_0 geschrieben, um zu betonen, dass die 0 zu den natürlichen Zahlen gehört.

Die Menge \lbrace \emptyset \rbrace, die als einziges Element die leere Menge besitzt, also genau ein Element enthält, steht für die Zahl 1. Die letzte Zeile beschreibt das allgemeine Bauprinzip. Die Nachfolgermenge besteht stets aus der Vorgängermenge vereinigt mit der Menge, die die Vorgängermenge enthält.

Im Prinzip handelt es sich bei der Definition der Zahl 1 um die Potenzmenge der leeren Menge. Die Zahl 2 ist dann die Potenzmenge der Potenzmenge der leeren Menge, die Zahl drei dann …

Trotzdem verwirrend?

Hier ist es wichtig zwischen Elementen einer Menge und der Menge selbst zu unterscheiden. Die äußeren Mengenklammern \lbrace \ldots \rbrace umfassen die Elemente einer Menge. Für 2:=\lbrace \emptyset, \lbrace \emptyset \rbrace\rbrace gilt: \emptyset und \lbrace \emptyset \rbrace sind beides Elemente der Menge, der wir den Namen „2“ gegeben haben. In der Menge 3 sind dann \emptyset, \lbrace \emptyset \rbrace und \lbrace \emptyset, \lbrace \emptyset \rbrace\rbrace die Elemente der Menge.

So hast du natürliche Zahlen bestimmt noch nie betrachet:  Aus Nichts wurde eine ganze Welt erschaffen!

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Anmerkungen, Links und Quellen   [ + ]