Was ist die nahrhafte Null? - Mathematik Studium Tipps

Die nahrhafte Null klingt nach einer Diät, bei der man nicht hungern muss! Stimmt auch irgendwie… Denn, wenn wir eine Null hinzufügen, dann macht das erst mal nicht „dick“. Und trotzdem hat diese Null einen Gehalt.

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Fangen wir am besten von vorne an.

Woher kommt der Ausdruck „nahrhafte Null“?

Die Bezeichnung „nahrhafte Null“ kommt aus der Mathematik. Grundsätzlich gibt es unendlich viele Ausdrücke für die Null. Denn jede Zahl, die mit ihrer Inversen addiert wird, ergibt Null. Beispielsweise ist $2 + (-2) = 0$ .

Eine Null zu addieren schadet bekanntlich nicht. Wählen wir dabei einen Ausdruck für die Null, der uns noch nützlich sein wird, dann ist diese Darstellung der Null nahrhaft oder auch inhaltsreich.

Mit einer geschickten Wahl der Null kannst du in einem mathematischen Ausdruck Teile sichtbar machen, die vorher nicht zu sehen waren.

Das klingt jetzt wiederum wie Zauberei!

Die nachfolgenden Beispiele werden die Bedeutung der nahrhaften Null verdeutlichen.

Anwendungen der nahrhaften Null

Es gibt grundsätzlich viele Einsatzmöglichkeiten für die nahrhafte Null. Zwei sehr typische Anwendungen dieses Tricks sind die quadratische Ergänzung und die Dreiecksungleichung.

Beispiel Quadratische Ergänzung

Fangen wir mit dem Beispiel der quadratischen Ergänzung an. Angenommen, du möchtest die Gleichung $x^2 + ax + b = 0$ lösen. Dann geht das wie folgt:
$x^2 + ax + b = 0 \Leftrightarrow x^2 + ax = -b$ .

Jetzt fügen wir eine nahrhafte Null ein:
$x^2 + ax = -b \Leftrightarrow x^2 + ax \underbrace{+ (\frac{a}{2})^2 - (\frac{a}{2})^2}_{\text{nahrhafte Null}} = -b$

Erst durch die nahrhafte Null können wir die erste binomische Formel erkennen und anwenden und erhalten:
$x^2 + ax + (\frac{a}{2})^2 - (\frac{a}{2})^2 = -b \Leftrightarrow (x + \frac{a}{2})^2 = (\frac{a}{2})^2 -b$

Auflösen nach $x$ ergibt:
$x= -\frac{a}{2} \underline{+} \sqrt{(\frac{a}{2})^2 -b}$ .

Mit Hilfe der nahrhaften Null konnten wir somit die quardratische Ergänzung anwenden und schließlich die quadratische Gleichung lösen.

Beispiel Dreiecksungleichung

Eine andere typische Anwendung für die nahrhafte Null steht im Zusammenhang mit der Dreiecksungleichung. Die Dreiecksungleichung lautet:
$|x + y| \le |x| + |y|$ .

Nehmen wir nun an, wir wollen die umgekehrte Dreiecksungleichung $| |x| - |y| | \le |x + y|$ beweisen.

Mit einer geschickten Wahl der Null und der Dreiecksungleichung erhalten wir
$|x|=| x \underbrace{ + y - y}_{\text{nahrhafte Null}} | \le |x + y| + |y| \Leftrightarrow |x| - |y| \le |x + y|$ und
$|y|=| y \underbrace{ + x - x}_{\text{nahrhafte Null}} | \le |y + x| + |x| \Leftrightarrow -(|x| - |y|) \le |x + y|\ \square .$