Fibonacci Ananas - Exotin mit Mathegen - Mathematik Studium Tipps

Du kennst sie. Sie ist soo süß. Sie ist eine Exotin. Und…

… sie hat etwas, was du nicht hast.

Sie trägt es ganz offen mit sich rum.

Weißt du was es ist?

Exkurs zu den Fibonacci Kaninchen

Ja, es stimmt tatsächlich. Die Ananas kennt die Fibonacci Zahlen. Man könnte auch sagen sie kleidet sich mit ihnen.

Aber eins nach dem anderen.

Was sind denn überhaupt die Fibonacci Zahlen?

Endeckt wurden die Fibonacci Zahlen von Leonardo von Pisa. Er lebte ungefähr 1170 – 1250.

Im Jahre 1202 veröffentlichte er ein Buch, in dem er eine Aufgabe zur Vermehrung von Kaninchen stellte.

Die Aufgabe lautete in etwa so:¹⁾Boncompagni, B. (1857): Scritti di Leonardo Pisano, Roma, Vol. 1, S. 283.

Jemand brachte ein Kaninchenpaar in einen gewissen, allseits von Wänden umgebenen Ort, um herauszufinden, wieviel [Paare] aus diesem Paar in einem Monat entstehen würden. Es sei die Natur der Kaninchen, pro Monat ein neues Paar hervorzubringen und im zweiten Monat nach der Geburt [erstmals] zu gebären. [Todesfälle jedoch mögen nicht eintreten.]

Also gut, dann rechnen wir mal:

Monat 1

1 Kaninchenpaar – das Urpaar

Monat 2

immernoch 1 Kaninchenpaar – das Urpaar

Monat 3

2 Kaninchenpaare – das Urpaar und sein erstes Nachwuchspaar

Monat 4

3 Kaninchenpaare – das Urpaar, das erste Nachwuchspaar und das zweite Nachwuchspaar

Monat 5

5 Kaninchenpaare – das Urpaar, das erste Nachwuchspaar und sein erster Nachwuchs, das zweite Nachwuchspaar und das dritte Nachwuchspaar

Wie geht es weiter?

Genau!

Die Fibonacci Zahlen lauten 1 1 2 3 5 8 13 21 34 …

Zurück zu unserer Fibonacci Ananas!

Jetzt die Fibonacci Ananas

Nein, sie vermehrt sich nicht genauso wie die Kaninchen aus der Aufgabe von Leonardo!

Wie schon zu Anfang erwähnt, die Ananas kleidet sich mit den Fibonacci Zahlen.

Um das zu verstehen, schauen wir uns die Außenhaut der Fibonacci Ananas an. Sie hat schuppenähnliche Waben – dafür gibt es bestimmt einen Fachbegriff…

Diese Waben verlaufen spiralförmig von unten nach oben. Wenn du die Waben in so einer Spirale zählst, dann entspricht ihre Anzahl einer der Fibonacci Zahlen.

Machen wir den Test!

Halt! Hiergeblieben!

Du brauchst jetzt nicht den nächsten Supermarkt zu stürmen und dich bei jeder Ananas davon zu überzeugen, ob sie wirklich das Mathegen hat. Das haben schon andere vor dir versucht und Hausverbot bekommen.

Es soll wirklich einen namenhaften Mathematiker gegeben haben, der Hausverbot bekam, weil er zu viele Ananas in die Hände genommen hatte, um die Fibonacci Zahlen zu prüfen. Ich weiss leider nicht mehr wie der Mathematiker hieß.

Überzeuge dich nun selbst davon, dass die Ananas ein Mathegen hat:

Fibonacci für Fortgeschrittene

In den Fibonacci Zahlen steckt noch weitaus mehr. Ihnen wurde sogar eine eigene Fachzeitschrift „The Fibonacci Quarterly“ gewidmet.²⁾Vgl. Heuser, H. (2009): Lehrbuch der Analysis Teil 1, 17., aktualisierte Auflage, Wiesbaden.

Die Rekursionsvorschrift zu den Fibonacci Zahlen ist denkbar einfach:

$\begin{align*} a_1=a_2:=1,\quad a_{n+2}:=a_{n+1} + a_n\quad \text{mit}\ n=1,2,\ldots \end{align*}$

Überhaupt nicht intuitiv ist dagegen die folgende Funktionsvorschrift für $a_n\quad \text{mit}\ n=1,2,\ldots$ :

$\begin{align*} a_n= \frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^n - (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^n) \end{align*}$

Der Grenzwert der Folge $\frac{a_n}{a_{n+1}}$ ist $\tau=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ .

Die Zahl $\tau$ wiederrum ist der Punkt an dem eine Teilung einer Strecke von Länge 1 göttlich ist. Ja, du hast richtig gelesen!

Aus den Fibonacci Zahlen lässt sich die göttliche Teilung, auch als Goldener Schnitt bekannt, ablesen!

Anwendung finden die Fibonacci Zahlen in der Biologie, wenn es um die Anordnung von Pflanzenblättern geht. Unsere Fibonacci Ananas ordne ich auch mal dort ein.

Darüberhinaus finden die Zahlen Anwendung in elektrischen Netzwerken und sogar in der modernen Virusforschung.³⁾Vgl. Heuser, H. (2009): Lehrbuch der Analysis Teil 1, 17., aktualisierte Auflage, Wiesbaden.

Fazit

Die Zahlenreihe, die mit ein paar lustingen Kaninchen im Jahre 1202 ganz harmlos anfing, hat sich zu einem mathematischen Gebiet entwickelt, das eine eigene Zeitschrift füllt.

Das hätte Leonardo von Pisa damals sicher auch nicht gedacht!

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Anmerkungen, Links und Quellen[+]

Fibonacci Ananas – Exotin mit Mathegen